边界元法(boundary element method)是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法,与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同,边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。

所以边界元法与有限元相比,具有单元个数少,数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分,这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性,使求解遇到困难。

中文名

边界元法

外文名

boundary element method

学科

数学

属性

数值方法

优点

单元个数少,数据准备简单等

书籍

《边界元法》等

定义

边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程,通过对边界分元插值离散,化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比,由于降低了问题的维数,而显著降低了自由度数,边界的离散也比区域的离散方便得多,可用较简单的单元准确地模拟边界形状,最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数,而具有解析与数值相结合的特点,通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题,如应力集中问题,或边界变量出现奇异性的裂纹问题,边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件,因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提,对于非均匀介质等问题难以应用,故其适用范围远不如有限元法广泛,而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵,对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题,由于在方程中会出现域内积分项,从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。

基础

边界元法是基于控制微分方程的基本解来建立相应的边界积分方程,再结合边界的剖分而得到的离散算式。

Jaswon和Symm于1963年用间接边界元法求解了位势问题;Rizzo于1967年用直接边界元法求解了二维线弹性问题;Cruse于1969年将此法推广到三维弹性力学问题。1978年,Brebbia用加权余量法推导出了边界积分方程,他指出加权余量法是最普遍的数值方法,如果以Kelvin解作为加权函数,从加权余量法中导出的将是边界积分方程——边界元法,从而初步形成了边界元法的理论体系,标志着边界元法进入系统性研究时期。

发展

经过近40年的研究和发展,边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。在数学方面,不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难,同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析,为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。在方法与应用方面,边界元法已应用到工程和科学的很多领域,对线性问题,边界元法的应用已经规范化;对非线性问题,其方法亦趋于成熟。在软件应用方面,边界元法应用软件已由原来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元法程序包发展。

我国约在1978年开始进行边界元法的研究,我国的学者在求解各种问题的边界元法的研究方面做了很多的工作,并且发展了相应的计算软件,有些已经应用于工程实际问题,并收到了良好的效果。

应用

《边界元法》是在有限元法之后发展起来的一种精确高效的工程分析数值方法。经过近五十年的发展,它不仅在固体与结构分析领域成为有限元法最重要的一种补充,而且在微机电系统电磁场分析和大型结构电磁波散射分析等领域也得到广泛应用。

第八、第九章介绍快速多极边界元法和大规模快速多极边界元并行算法,第十二章介绍与边界积分方程相关的边界型无网格法。另外在第十、第十一两章简要介绍国际上边界元法比较成功的应用,包括在机械、结构工程中的应用,和声场、电磁场分析设计中的应用。

影响及意义

《边界元法》分为传统边界元法的基本内容和近年发展的快速多极边界元法等新进展两大部分。前七章包含了传统边界元法的基本内容,分为三个单元:前三章为数学力学基础部分,介绍各种问题边界积分方程的建立;第四、第五章为基本数值方法部分,包括分元离散,数值积分和方程求解,并结合二维问题介绍其程序实现;第六、第七章为几类应用专题,主要是含时间问题、几种非线性问题和反问题。