最高次数项为3的函数,形如y=ax³+bx²+cx+d(a,b,c,d为常数,且a不等于0)的函数叫做三次函数(cubic function)。三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线(不同于普通抛物线)。

中文名

三次函数

外文名

cubic function

别名

三次回归式抛物线

表达式

y=ax³+bx²+cx+d(a≠0,b,c,d为常数

适用领域

中等代数

学科

数学

零点求法

求函数的零点可用盛金公式、盛金判别法、或传统解法:

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法。

传统解法

此外,一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B。方法如下:

⑴将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

⑵x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

⑶由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以⑵可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项

⑷x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,

⑸-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简

⑹A+B=-q,AB=-(p/3)^3

⑺这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而⑹则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即

⑻y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

⑼对比⑹和⑻,可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a

⑽由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

可化为

⑾y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将⑼中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入⑾可得

⑿A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

⒀将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

⒁x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

式⒁只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。

性态要点

⒈三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数

⒉三次函数y=f(x)的图象与x轴交点个数

⒊单调性问题

⒋三次函数f(x)图象的切线条数

⒌融合三次函数和不等式,创设情境求参数的范围

对称中心

三次函数的拐点就是三次函数的对称中心 拐点求法: 设三次函数y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+da不为0 则y'=3ax^2+2bx+c y''=6ax+2b 由a不为0 显然 当x=-b/3a附近y''有正有负也就是x=-b/3a是三次曲线凹弧和凸弧的分界点 从而点(-b/3a,f(-b/3a))是三次函数的拐点也是三次函数的对称中心[1]

(-b/3a,d+2*b^3/27a^2-b*c/3a).即(-b/3a,f(-b/3a)).

证明:因为f(x)=a(x-x0)^3+b(x-x0)+y0的对称中心是(x0,y0),即(x0,f(x0))

所以f(x)=ax^3+bx^2+cx+d如果能写成f(x)=a(x-x0)^3+b(x-x0)+y0那么三次函数的对称中心就是(x0,f(x0)).

所以设f(x)=a(x+m)^3+p(x+m)+n

得f(x)=ax^3+3amx^2+(3am^2+p)x+am^3+pm+n

所以3am=b;3am^2+p=c;am^3+pm+n=d;

所以m=b/3a;p=(3ac-b^2)/3a;n=d+(2b^3)/(27a^2)-bc/(3a)

所以f(x)=a(x+b/3a)^3+(c-B^2/3a)(x+b/3a)+d+2b^3/27a^2-bc/3a

推广

如果f(x)是一个n次多项式,n>=2(因为直线的对称中心从狭义上讲是没有对称中心,而在广义上讲是无数个对称中心),其n次项系数是a0,n-1次项系数是a1,则有

⑴:如果y=f(x)的图像是中心对称图形,其对称中心是(-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));

⑵:如果y=f(x)的图像是轴对称图形,其对称轴是x=-a1/n/a0。