简介

上界，是与偏序集有关的一个特殊元素。指偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。设<A，R>是偏序集，，若对所有都有xRa，则a称为B在偏序集<A，R>中的上界，简称B的上界，记为。若a是B的上界，对于B的任何上界c，都有aRc，则a称为B的上确界（或最小上界），记为。

定义

考虑一个实数集合M。如果有一个实数s，使得M中任何数都不超过s，那么就称s是M的一个上界。

用数学符号表示为：对∀x∈M，都有x≤s，则称s是M的上界（upper bound）。

确界原理：若R的子集M有上界，则必有上确界；若集合M有下界，则必有下确界。

上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η∈R满足

（i）对∀x∈S，有η≥x，即η是S的上界；

（ii）对∀a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界（least upper bound），则称η为数集S的上确界；

下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ∈R满足：

（i）对∀x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；

（ii）对∀β>ξ,∃x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界（greatest lower bound），则称ξ为数集的S的下确界；

由戴德金定理证明非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界同理。

设S为一非空有上界数集，即成立。取数集B为S所有上界的集合，A=R/B。则：

①由取法可知，故。，故，因此。

②。

③∵A中任何元素都不是S的上界，∴。

又∵B中任何元素都是S的上界，∴。

故必有。

∴由戴德金定理可知，要么A中有最大值，要么B中有最小值。设这个值为η，并且，恒成立。

假设η是A中的最大值，即，那么，。

又∵。

但，，与B中任何元素都是S的上界矛盾。

∴η是B中的最小值，即S有最小上界（上确界）。

举例

对一个，它的上界可能不存在，或可能不止一个。例如，令A={1,2,3}，R={<a,b>|a整除b}。当B1={2,3}时，B1没有上界，当B2={1}时，有上界1,2,3，且1是B2的上确界。

对，若上确界存在，则是惟一的。一个子集B有上界时它未必有上确界，有上确界也不一定在子集B之中，例如，如概述图中哈塞图表示的以A={a，b，c，d，e}为基本集的一个偏序集，子集B={b，c，d}，以a为上界，a{b，c，d}。子集{e，f}的上界与上确界都是f。子集{c，d，e}无上界，也无上确界。

非空的完全有序集的每个有限子集都有上界和下界。

例如，5是集合{5，8，42，34，13934}的下界。

另一个例子是对于集合{42}，数字42既是上界和下界，所有其他实数都不是该集合的上限或下限。

所有自然数的每个子集都具有下界，因为自然数具有最小元素（0或1，取决于自然数的确切定义）。自然数的无限子集不能从上面界定。整数的无限子集可以从下方界定或从上方界定。有理数字的无限子集可能来自也可能不会从下方界定，也可能不限于上述。